Lab 03 - Tranformata Fouriera - cz 2

Transformata Fouriera sygnałów dyskretnych- splot, modulacja, okna

Wstęp

Właściwości transformaty Fouriera

w dalsze części stosowane są następujące oznaczenia: \(F(.)\) - transformata fouriera \(g(t), h(t)\) - sygnały w dziedzinie czasu \(G(omega) = F(f(t))\) - wielkimi literami oznaczono transformaty Fouriera sygnałów.

Można wskazać następujące, podstawowe właściwości transformaty Fouriera, które dotycząc operacji arytmetycznych na sygnale:

Wykreśl i przeanalizuj widma następujących sygnałów: $$ y_1 = sin(2\cdot \pi \cdot f_1 \cdot t)\ $$

$$ y_2 = sin(2\cdot \pi\cdot f_2\cdot t)\ $$

$$ y_3 = y_1\cdot y_2\ $$

$$ y_4 = pulse(t, PW=0.5)\ $$

$$ y_5 = y_1\cdot pulse(t, PW=0.5) $$

import pylab as py
import numpy as np
from scipy.fft import fft, fftfreq
from scipy import signal

def sin(f = 1, T = 1, Fs = 128, phi =0 ):
    dt = 1.0/Fs
    t = np.arange(0,T,dt)
    s = np.sin(2*np.pi*f*t + phi)
    return (s,t)  


Fs = 500
T = 1
f_1 = 100
f_2 = 10

(y_1,t) = sin(f = 100.0, T=T, Fs=Fs)
y_2 = np.sin(2*np.pi*f_2*t)
y_3 = y_1*y_2
y_4 = signal.square(2 * np.pi * t/T,0.5)
y_5 = y_1*y_4

Wyznacz widma sygnałów \(y_1\) - \(y_4\) i przeanalizuj otrzymane wyniki dla widm. Zwróć szczególną uwagę na zmianę która występuję przy modulacji dwóch sygnałów.

Sygnał, którego częstotliwość nie jest dokładnie reprezentowana w dziedzinie częstotliwości:

Rozdzielczość widma dana jest zależnością: $$ \Delta f = \frac{1}{T_{obserwacji}} $$ Wygeneruj widmo sygnału, którego częstotliwość nie jest dokładnie reprezentowany w widmie. Możesz np. nieznacznie skrócić okres obserwacji sygnałów y_1 i y_2 (np. do 0.98s). Co się zmieni w widmie sygnałów? Obserwowane efekt ujawnia rzeczywisty efekt wyznaczania transformaty fouriera sygnału o skończonej długości - sygnał ten jest wycinany za pomocą okna prostokątnego a co za tym idzie w widmie widoczny jest efekt splotu sygnału z oknem prostokątnym. W przypadku gdy długość sygnału zawiera dokładnie całkowitą liczbą okresów sygnału, efekt ten nie jest obserwowany, ponieważ funkcja \(sinc(x)\) próbkowana jest w miejscach zerowych, natomiast w innym przypadku efekt ten zawsze będzie się ujawniał (wystarczy dodać/usunąć nawet pojedynczą próbkę sygnału)

Zwiększanie rozdzielczości sygnału - zero padding

Metodą na zwiększanie ilości binów w transformacie Fouriera jest przedłużanie sygnału zerami (zero-padding). Jest to szczególny przypadek następującego podejścia: Nasz "prawdziwy" sygnał jest długi. Oglądamy go przez prostokątne okno, które ma wartość 1 na odcinku czasu, dla którego próbki mamy dostępne i 0 dla pozostałego czasu. W efekcie możemy myśleć, że oglądany przez nas sygnał to efekt przemnożenia "prawdziwego" sygnału przez okno. Efekty takiego przedłużania proszę zbadać:

Zmniejszanie przecieków częstotliwości metodą okien

Jak to już zaznaczono powyżej, wyznaczenie transformaty Fouriera sygnału o skończonej długości odpowiada wymnożeniu go przez okno prostokątne. Transformatą okna prostokątnego jest funkcja sinus cardinalis, która charakteryzuje się wąskim listkiem głównym, i listkami bocznymi o stosunkowo wysokich amplitudach, co jest źródłem tzw. przecieków częstotliwości i może wpływać na rozmycie widma sygnału. Głowną przyczyną dla której widmo okno prostokątne zawiera tak szeroki zakres częstotliwości jest nieciągłość funkcji (skokowa zmiana wartości). Istnieją inne kształty okien, posiadające zdecydowanie węższe charakterystyki widmowe. Najczęściej spotykanymi są okna Hanna, Hamminga, Blackmanna czy Flattop. Opis funkcyjny oraz ich kształty możesz znaleźć tutaj.

Przeanalizuje wynik działania następującego skryptu:

def spect_dB(s, N_fft, F_samp):
    S = fft(s,N_fft)
    S_dB = 20 * np.log10(np.abs(S))
    F = fftfreq(N_fft, 1.0/F_samp)
    return (S_dB,F)

fs=100
f=5

plt.figure()

k=1
for T in np.linspace(1,1.2,4):
    t = np.arange(0,T,1/fs)
    window = signal.windows.hann(len(t))#
    s = np.sin(2*np.pi*f*t)
    s_wnd = s* window
    plt.subplot(4,1,k)
    plt.title(f'T={T}')
    S_wnd, F = spect_dB(s_wnd,len(s), fs)
    S, F = spect_dB(s,len(s), fs)
    plt.plot(F,S_wnd)
    plt.plot(F,S)
    
    k=k+1

Zadania

  1. Stosując metodę zerro padding zbadaj następujące sygnały:

  1. Stosując okno prostokątne,Blackmanna, Hanna i Hanninga, wyznacz sumę sygnału o częstotliwości \(f\)=10.2Hz z pojedynczymi składowymi o częstotliwości \(f_2\) wygenerowanej przez funkcję np.linspace(11.4,15.5,9). W pojedynczym porównaniu porównaj sygnał o wyznaczenia widma wykorzystaj funkcję spect_dB. W analizie najłatwiej będzie porównywać dane, gdy na jednym wykresie umieścisz dane dla pojedynczej kombinacji \(f\) i \(f_2\) i wszystkich okien. Przyjmij, że częstotliwość próbkowania \(f_s\)=100Hz a okres obserwacji T=1s

  2. Spróbuj odczytać parametry sygnału częstotliwość próbkowania, długość w [s] oraz liczbę składowych harmonicznych oraz ich częstotliwości, wiedząc że sygnał zawiera <7 składowych, a dane umieszczone są w Dataframie, gdzie indeksem jest czas

  3. (dla chętnych) Spróbuj stworzyć prosty filtr, który z widma sygnału wytnie składową 50Hz (pamiętaj że wycięcie składowej z widma oznacza usunięcie składowej o częstotliwości 50Hz i fs-50Hz). Przygotuj następujący sygnał syntetyczny: $$ y = sin(2\cdot \pi \cdot 10 \cdot t) + 0.5 \cdot sin(2\cdot \pi \cdot 45 \cdot t) + 2 \cdot sin(2\cdot \pi \cdot 50 \cdot t) $$ gdzie częstotliwość próbkowania fs = 500Hz Filtrację wykonaj dla dwóch sytuacji:

Autorzy: Piotr Kaczmarek